Dérivée d'un quotient

Propriété

Soit  `u`  et  `v`  deux fonctions dérivables sur un intervalle  `I` de `\mathbb R` sur lequel  `v` ne s'annule pas.
Alors la fonction `u/v`  est dérivable sur  `I`  et sa dérivée est donnée, pour tout  `x` dans  `I` , par

\(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\) . 

Démonstration

Soit  `f=u/v`  et  `v(x)\ne0`  pour tout  `x\inI` .
Il suffit de remarquer que :  \(f=\frac{u}{v}=u\times\frac{1}{v}.\)

La fonction  `f`  est donc dérivable sur  `I`  comme produit de fonctions dérivables et : 

`(u\times\frac{1}{v})^'=u'\times 1/v+u\times ((-v')/v^2)=u^'/v-(uv')/v^2=\frac{u'v-uv'}{v^2}` .